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卡拉比-丘流形

发布日期:2020-04-18 00:42   来源:未知   阅读:

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  是一个的第一陈示性类为0的紧n维Kähler流形,也叫做卡拉比-丘n-流形。数学家卡拉比在1957年猜想所有这种流形有一个里奇平直流形的度量,该猜想于1977年被丘成桐证明,成为丘定理。因此,卡拉比-丘流形也可定义为「紧里奇平直卡拉比流形」。

  数学上,卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold,简称卡丘流形)是一个的第一陈示性类为0的紧n维Kähler流形,也叫做卡拉比-丘n-流形。数学家卡拉比在1957年猜想所有这种流形(对于每个Kähler类)有一个里奇平直流形的度量,该猜想于1977年被丘成桐证明,成为丘定理(Yaus theorem)。因此,卡拉比-丘流形也可定义为「紧里奇平直卡拉比流形」(compact Ricci-flat Khler manifold)。

  也可以定义卡拉比-丘n流形为有一个SU(n)和乐(holonomy)的流形。再一个等价的定义是流形有一个全局非0的全纯(n,0)-形式。

  在复一维的情况,唯一的例子就是环面族。注意环上里奇平直的度量就是一个平坦度量,所以和乐群(holonomy)是当然群,也叫SU(1)。

  在复二维的情形,环T4和K3曲面组成了仅有的实例。T4有时不被算作卡拉比-丘流形,因为其和乐群(也是当然群)是SU(2)的子群而不是同构于SU(2)。从另一方面讲,K3曲面的和乐群是整个SU(2),所以他可以线维的卡拉比-丘流形。

  在复三维的情况,可能的卡拉比-丘流形的分类还是为解决的问题。3维卡拉比-丘流形的一个例子是复射影空间CP4中的5次三流形。

  卡拉比-丘流形对于超弦理论很重要。在最常规的超弦模型中,弦论中有十个猜想中的维度,作为我们所知的4个维度出现,在加上某种纤维化纤维的维度为6。卡拉比-丘n-流形的紧致化很重要,因为他们保持一些原有的超对称性不被破坏。更精确的说,卡拉比-丘3-流形(实维度6)的紧致化保持四分之一的原有超对称性不变。

  球面上的每个小区域看起来都是普通的欧几里德空间,处于不同经度的城市仿佛有着平行的时空。流形就是这样的几何空间,其上的每个小区域看起来都像普通的欧几里德空间。卡拉比-丘流形是一种复流形,可以分解成一片一片,看起来就像是复空间的平面。

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